رابطه ی رياضی فاصله ی سيارات تا خورشيد

  سال 1766 میلادی، يوهان تيتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد که با استفاده از آن می شد فاصله سیارات از خورشید را بدست آورد. چند سال بعد نیز دیگر منجم هموطن او، یوهان الرت بُد، این رابطه را مستقلا" دوباره کشف کرد.البته این رابطه را هر دو از طریق بازی با اعداد بدست آوردند و بدست آوری آن رابطه پایۀ علمی نداشت. امروزه این رابطه به رابطه تیتوس_بُد مشهور است. این رابطه بدین صورت است:

فاصله سیاره از خورشید(بر حسب فاصله متوسط زمین از خورشید)=0.4+(0.3*n)

... , n=0, 1, 2, 4, 8

اعدادبدست آمده با دقت خوبی با فاصله واقعی سیارات همخوانی داشت:

سیارات	عطارد	زهره	زمین	مریخ	؟؟؟	مشتری	زحل
جواب رابطه تیتوس_بُد	0.4	0.7	1.0	1.6	2.8	5.2	10
فاصله واقعی از خورشید	0.39	0.72	1.00	1.52	؟؟؟؟	5.20	9.54

برای فاصله 2.8 برابر فاصله زمین از خورشید در آن زمان سیاره ای یافت نشده بود. بسیاری از اخترشناسان عقیده داشتند که سیاره ای کوچک در این فاصلۀ بین مریخ و مشتری وجود دارد که کشف نشده است. جستجوی منظم نوار دایرِةالبروج برای یافت این سیارۀ مفقود از اواخر قرن هجدهم شروع شد و سرانجام در اولین روز قرن نوزدهم، یک منجم ایتالیایی به نام جوزپه پیاتزی، موفق شد جسم کوچکی را در حدود این فاصله از خورشید بیابد که آن را سِرِس نامید. بعد از آن نیز اجرام دیگری با همین فاصله از خورشید کشف شدند. اخترشناسان آن دوران این نظریه را پیش کشیدند که در آن فاصله از خورشید، بجای یک سیاره، تعداد زیادی سیارک وجود دارد که با کشف تعدادزیادی از این سیاکها در سالهای بعد این نظریه تایید شد.در حقیقت رابطه تیتوس_بُد محرک اصلی کشف سیارکها بود.

سالها بعد نیز سیارۀ اورانوس کشف شد که فاصله اش با فاصله پیشبینی شده توسط رابطه تیتوس_بُد نیز می خواند!(19.6 بنابر رابطه و 19.9 بنابر اندازه گیری). اما فاصله سیارات بعدی نپتون و پلوتو در این رابطه صدق نمی کنند. امروزه نظریه ای که به نظریه واهلش دینامیکی(Dynamical Relaxation) موسوم است توضیحی برای این رابطه یافته است. بنا به این نظریه، سیارات نخست در مدارات متفاوت تکوین یافتند؛ اما سپس به مداراتی منتقل شدند که نیروهای اغتشاشی گرانشی دیگر سیارات را به حداقل برسانند. نتیجه این کار از نظر ریاضی به روابطی شبیه رابطه تیتوس_بُد منجر می شود.

بیضی

بیضی مجموعه نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.

خاصیت اساسی معادله سهمی

خاصیت اساسی معادله سهمی این است که نسبت به یکی از متغیرها خطی و نسبت دیگری از درجه دوم است. هر وقت که چنین معادله‌ای داشتیم می‌توانیم به کمک تکمیل کردن مربع متغیری که از درجه دوم است. معادله عبارت خطی را به یکی از صورتهای بنویسیم. اکنون می‌توان همه اطلاعات راجع به رأس و فاصله کانون تا رأس و محور تقارن و جهت باز شدن منحنی را از معادله آن بدست آورد.

فرمول ریاضی یک صدای کلامی مطلوب

یک زبانشناس و یک مهندس صدا در انگلیس با بررسی بهترین صداهای این کشور موفق شدند فرمول ریاضی یک صدای کلامی مطلوب و زیبا را ارائه کنند.
اندرو لین پروفسور زبانشناسی و شانون هریس مهندس صدا هر دو از دانشگاه شفلید انگلیس در بررسیهای خود نشان دادند که صدا لباسی است که بر قامت واژگان پوشانده می شود. بنابراین یک صدای خوب می تواند به زیباتر شدن واژگان کمک کند و موجب درک بهتر آواهای زبان شود. 
این دو محقق برپایه اطلاعات "اداره پست تله کام" که محبوب ترین صداهای این کشور را معرفی می کرد فرمول یک صدای زیبا را که بر جذابیتهای زبان می افزاید ارائه کردند. 
این پژوهشگران نشان دادند که یک ریتم آرام اما نه کسل کننده (بیان 164 واژه در دقیقه) به اضافه یک مکث بین دو جمله برای دادن یک زمان کوتاه متابولیزه کردن معانی جمله (48/0 ثانیه سکوت) به اضافه آهنگی که تیز شروع می شود اما به تدریج برای ختم سخنرانی کاهش می یابد، فرمول یک صدای مطلوب است. 
براساس گزارش روزنامه گاردین، در فرمول ریاضی لین و شانون ویژگیهایی نیز افزوده شده اند که به سختی قابل اندازه گیری هستند که از آن جمله می توان به توانایی نفس در قطع مناسب هر جمله و قدرت بیانگری هوشمندانه اشاره کرد.
این محققان در این خصوص اظهار داشتند: "بعضی از صداها ارتعاشی هستند درحالی که بعضی دیگر بسیار ضمخت هستند و نفرت را برمی انگیزند. این واکنشها به صورت غریزی در هر انسانی وجود دارد اما ما در تحقیقات خود به دنبال یک پاسخ دقیق تر بودیم و بنابراین با بررسی جذاب ترین صداها به این فرمول دست یافتیم."       

عدد e

 پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضی دانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اولر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.

در واقع باید اعتراف کرد که اولر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617)        Leonhard Euler 1707-83 در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اولر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.

اولر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.
در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :

P = C (1 + r/n) ^nt

که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود. در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :

P = C e ^rt

اولر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد :

e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

لازم است ذکر شود که اولر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اولر است.

دایره

دایره مکان هندسی یک محیط و خط بسته است که فاصله تمام نقاط پیرامون از یک نقطه به نام مرکز ثابت است. که در ابعاد فضایی و سه بعدی به صورت حلقه ، استوانه ، کره ، گنبدهای کروی مشاهده می‌شود.

اشکال هندسی در زندگی همیشه دارای کاربردهای فراوان بوده و برای فعالیتهای انسان الهام بخش و سمبل نیز شده است. دایره یکی از این اشکال است. ابتدایی‌ترین کاربرد دایره ، چرخ و چرخ‌دنده‌ها هستند که از قدیم‌الایام بکار رفته و می‌روند. همچنین ابزار آلات زینتی چون تاج ، گردبند ، خلخال و حلقه‌ها ، کاربردی به اندازه تاریخ بشری دارند. نمونه مثال زدنی حلقه ازدواج است که بین زوجین مبادله می‌شود و این برگرفته از حلقه‌ای است که در دست اهورامزدا در پیکره‌ها و مجسمه‌ها دیده می‌شود.
با توجه به قرینه مذهبی قداست و پاکی ازدواج در ایران باستان را نشان می‌دهد که اکنون فرهنگی جهانی گشته است. دایره در فرهنگها ، انجمنها ، شهرسازی ، اندیشه‌های هنری و ریشه‌دار بخصوص در ابزار آلات نجومی جایگاه نمادین و کاربردی دارد. در فرهنگ و ادیان قدیم ازجمله بودا ، نماد آسمان ، جهان پاک ، افلاک گردنده و غیر دنیاست در حالی که در مقابل دنیا چهار گوشه و مربع است که به وضوح در بیان اشعار و ادبیات ایرانی بویژه غزلیات عرفانی مشاهده می‌شود.

ویژگی های هندسی مثلث

با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف و یا میانه میتوانیم به نتایج جالبی در مورد دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان میکنیم:
اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود میکنیم به طوریکه این خطوط اضلاع را نصف نمایند.(در واقع عمود منصف اضلاع را رسم میکنیم)در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره ای خواهد بود که مثلث را احاطه میکند . به این دایره، دایره محاطی گویند.این دایره طوری رسم میشود که از سه راس مثلث عبور کند.
طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محاطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود.به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد ،مثلث ما یک مثلث حاده خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه خواهد بود.
ارتفاع مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود میشود.ضلعی را که ارتفاع بر آن عمود است را قاعده مثلث گویند.طول ارتفاع ، فاصله بین راس و قاعده نظیر ارتفاع است.اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع میکنند مگر در حالتی که مثلث ،منفرجه باشد.
نیمساز یک زاویه از مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند.
اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد.این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث خواهد بود.این دایره درون مثلث قرار دارد به طوریکه اضلاع مثلث، خطوطی مماس بر دایره هستند.
میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند. سه میانه مثلث یکدیگر را در نقطه ای به نام مرکز مثلث قطع میکنند البته این نقطه مرکز ثقل مثلث نیز میباشدهمچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت 1 به 2 تقسیم میکند به طوریکه فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است.

روابط بین ضلع ها

در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

روابط بین زوایا

·         مجموع زاویه های داخلی مثلث 180 درجه است.

·         مجموع زاویه های خارجی مثلث 360 درجه است.

·         هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی مجاور آن است.

روابط بین ضلع ها و زوایا

·         در مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است. ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است. زوایای مقابل به اضلاع برابر برابرند و برعکس. هر مثلث متساوی الساقین متقارین است. عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین قاعده و زاویه رأس آن را نصف می کند. زوایای قاعده مثلث متساوی الستقین برابرند.

·         در مثلث قائم الزاویه زوایای حاده متمم اند. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده 45 درجه اند.

·         در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابرند، هر یک 60 درجه است.

·         مثلثهای متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند.

·         اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه ای 30 درجه باشد، ضلع مقابه به آن نصف وتر است.

نگاهی به استفاده از دایره برای رفع مشکلات شهرها و شهرسازی

توسعه شهرها ، تامین نیازمندیهای آنان ، چاره‌جویی برای توسعه‌های آینده شهر ، اتخاذ تصمیماتی که بتواند مشکلات شهری را به حداقل برساند و بالاخره آنکه چگونه رابطه منطقی بین انسان با محیط طبیعتش حفظ شود، به تحولاتی در امر شهرسازی منجر شد. نخستین نظریه در زمینه شهرسازی شخصی به نام هیپوداموس (480) سال قبل از میلاد بود و بعد از آن نظریات و راهکارهای متفاوت شهرسازی بوجود آمد. ولی پیدایش دانش امروزی شهرسازی به قرن نوزده میلادی می‌رسد. از میان نظریه‌های شهرسازی می‌توان نظریه‌های زیر را نام برد.

نظریه متحدالمرکز

در این نظریه الگوی ساخت شهر بر این اصل استوار است که توسعه شهر از ناحیه مرکزی به طرف خارج شهر صورت گرفته و تعداد مناطق متحدالمرکز را تشکیل می‌دهد. این مناطق با ناحیه مشاغل مرکزی شروع شده و بوسیله منطقه در حال تحول احاطه می‌شود.

نظریه قطاعی

تعدیل و تغییر در جهات مختلف این نظریه است. شهرها برای همیشه نمی‌توانند حالت متحدالمرکزی مناطق را حفظ کنند. در این نظریه اجازه خانه به عنوان راهنما مطالعه شهر را عملی می‌سازد. ساخت واحدهای گرانقیمت از کانون اصلی در طول شبکه‌های رفت و آمد ، ساخت واحدهای مسکونی دیگر و ارزان‌تر به سوی فضاهای باز و جابجایی ساختمانهای اداری و تجاری ، توسعه واحدهای مسکونی گرانقیمت را در جهت عمومی عملی سازد. آپارتمانهای لوکس در مجاورت بخشهای تجاری و مسکونی قدیمی بوجود آمده و واحدهای گرانقیمت شهر بطور اتفاقی و نامنظم جابجا نمی‌شوند. راههای شعاعی از مرکز شهر به اطراف کشیده می‌شود و عامل دسترسی به این راهها و قیمت زمینها را در مناطق مختلف شهر تعیین می‌کند.

مدل حلقه‌ای

در این مدل به جای آنکه خطوط اصلی حمل و نقل به صورت خطی گسترش یابد به شکل دایره‌ای و به موازات مرکز شهر ، حواشی ناحیه مرکزی و بافتهای اطراف آن را احاطه می‌کند. و دور تا دور بافت را گره‌های شهری بوجود می‌آورد. و فعالیتها شکل حلقه‌ای یا زنجیره‌ای به خود می‌گیرند.

طرح مکمل مدل کهکشان

بر اساس نظریه ویکتورگروئن در بیشتر شهرهای بزرگ کاربرد دارد. شهر از مراکز متعددی تشکیل یافته و هر کدام واحدهای دیگری را بوجود می‌آورد و بوسیله شبکه‌های ارتباطی مشترک و مستقل و منطقه‌ای بافتها به همدیگر مرتبط می‌شوند. مجموعه این بافتها و شبکه‌ها یک شبکه کهکشانی را بوجود می‌آورد. خدمات مرکزی در وسط بافت و جایگاه صنایع در نواحی اطراف شهر و در خارج از بافت اصلی پیش‌بینی شده است.

مثلث خیام، پاسکال

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)⁰ = 1 (1)
(a+b)¹ = a+b (1,1)
(a+b)² = a²+2ab+b² (1,2,1)
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ (1,3,3,1)
(a+b)⁴ = a⁴+4a³b²+6a²b²+4a²b³+b⁴ (1,4,6,4,1)
. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید

یونانیان در قرن 5 قبل از میلاد (دوران طلایی ریاضی یونان)

سه مسئله معروف
      1ـ دو برابر كردن مكعب
           با در نظر گرفتن لبه یك مكعب ، لبه مكعبی را رسم كنید كه اندازه اش دوبرابر اندازه مكعب در نظر گرفته شده باشد .
      2ـ تثلیث زاویه
      3 ـ تربیع دایره
          با در نظر گرفتن شعاع دایره ، ضلعی از مربع را رسم كنید كه مساحتش برابر با مساحت دایره باشد .

یونان باستان و ریاضی

  پیشرفت مستقل یونانیان در ریاضی حدودا از 550 سال قبل از میلاد آغاز شد .
  سالهای1450ـ2200 قبل از میلاد كریت         

       – تمدن Knossos 
       – جایگزین شدن نسخه خطی B با نسخه خطی A 
           · یونانیان الفبای متفاوتی را برای نوشتن به كار می بردند .

           · دستگاه شمارش بر پایه عدد 10
سالهای 800 ـ 1200 قبل از میلاد 
       – در مورد این زمان هیچ نكته ای نوشته نشده است .
سال 800 قبل از میلاد 
       – هسه / Hesoid ( شاعر ) 
       – حروف الفبا از حروف آوایی گرفته شده است . 
       – مستعمره سازی كشورهای حوزه مدیترانه توسط یونانیان
دهه اول قرن ششم قبل از میلاد 
      – آتنیان : هنر ، مناظر عمومی ، . . .
دولت ـ شهر 
     – اولین شهر دموكراسی ( دموكراسی محدود ـ فقط مردها ) 
     – Sparta   : هنر نباید وجود داشته باشد ، فقط نیروی نظامی ، دولت ، . . .
شواهد 
    – تمدن یونانیان اولین تمدنی بود كه به اثبات جوابها می پرداخت .آنها اینكار رابرخلاف ریاضی دانان پیشین كه تنها مسائل را   حل می كردند ، انجام می داد . 
    – زندگی سیاسی فعال در یونان باعث پیشرفت بحثها و استدلالهای منطقی و شیوه های قانع سازی شد . این امر به پیشرفت شواهد و دلایل منطقی منتهی شد .
جبر 
    – دانش بسیاری را از آسیای صغیر و بابل دریافت نمودند . 
    – جبر به دلیل مسائل منطقی اعداد گنگ ، به عنوان بُعد هندسی آن در نظر گرفته شد .